数学最奇葩的九个定理 有没有人用初等数学的方

说到有没有人用初等数学的方法证明过费马大定理，想必大家都有一定了解，有人问麦克斯韦方程组，为什么被称为最美丽的方程组，另外，还有人想问写出麦克斯韦方程组的微分形式及积分形式。，这到底是怎么回事？其实麦克斯韦方程中，D,B,H,E都是什么意思？？我想知…，下面就一起来了解下数学最奇葩的九个定理，希望能够帮助到大家。

有没有人用初等数学的方法证明过费马大定理

我们奥数培训的时候老师讲过费马大定理,不过据说目前还没人用初等数学的方法证明过麦克斯韦方程组。

额…这个难度有点大吧费马大定理有什么用。

本人在1996年用初等数学的方法证明过，现在有原稿，曾经寄过北京数学研究所，可未果

麦克斯韦方程组的历史地位与应用数学史上最美的公式。

摘要：麦克斯韦方程组的诞生的关键是“位移电流”的思想实验，这不是从电磁学经验公式的前提中用数学方法演绎出来的；麦克斯韦方程组以一种公理关系的方程组形式表达了电磁场的本质，表现了物理学进步的真正特征。对麦克斯韦方程组的文化阐释提 供了对演绎与归纳意义的深层理解，使我们能够领悟到思想形象与表达形式之间本质性的统一性在人类理性思想中的作用和它们的文化影响。麦克斯韦方程组的产生，形式、内容和它的历史过程供了一个从科学理论中展现文化意义的机会，同时给文化阐释提供了一个最适用的案例。

本文之所以选择麦克斯韦方程组作为案列，是因为麦克斯韦方程组所具有的特殊性，这种特殊性已经在许多场合中被广泛引以为据，但也存在某些误解。麦克斯韦方程组可以看作是物理学的一个特殊的分界标志，一方面，它与经典物理学（牛顿力学、光学、热力学等）完全不同，他给现代社会带来的成果是有目共睹的；但另一方面，它又被看成是古典意义的，以区别于以相对论、量子力学等全新的现代物理学，这种特殊的地位使它具有一种历史性意义，但是这种意义在物理学的视界里是无法完全显现的，因此它需要文化意义的阐释，这种阐释的自身也是一种科学与人文之间的大文化。事实上，许多具有重要意义的物理概念总是在一种更广泛的文化意义上被重新阐释而被运用，比如，物理学的“场”的概念现在就己深深渗透到人们的思想观念中，并在许多领域得到应用，格式塔心理学(Gestalt Psychology)的心理场（ field）就是一例。五个着名的数学定理。

1. 物理学中的麦克斯韦方程组

麦克斯韦(James Clerk Maxwell 1831 – 1879)是一个集电磁学大成的伟大物理学家，他在库仑、高斯、欧姆、安培、毕奥、萨伐尔、法拉第等人的一系列发现和实验成果的基础上，建立了完整的电磁场理论，麦克斯韦的工作在物理学意义上的关键在于发现了交变电场可以产生（交变）磁场，在这以前，安培定律己表明，电流可以产生磁场，法拉第定律则表明，变化的磁场可以产生电场，但是当时的实验物理学家都没有发现变化的电场可以产生磁场这样的事实，因为当时的实验条件达不到可以观察这种现象的水平，这样，虽然库仓定律、安培定律、法拉第定律已在当时为大家所熟悉并有了应用，但人们并没有发现它们之间重要的内在关系，顶多只不过把它们一起归结电与磁的共有现象。麦克斯韦不是实验物理学家，他在理论物理领域内工作，他的实验室是思想，他的工具是数学，麦克斯韦建立了电与磁的统一的数学关系，即麦克斯韦方程组（Maxwell’s equations），这样人们都认为麦克斯韦是用数学演释方法创建了了电磁理论，实际上这是一个误解，如果我们追踪一下他的工作的大概过程，我们完全可以看到他是在思想实验中而不是在数学演演中得到这个关键性的发现而完成了电与磁的统一，在这个意义上，他是先于爱因斯坦和玻尔等而进行缜密的思想实验的科学家。有关这方而的介绍可以参看列昂.库珀( 1972年诺贝尔物理学奖获得者)的《物理世界》(An introduction to the meaning and structure of physics)一书[1]。

电磁学定律是从电学实验中发现和总结出来的，当时发现（恒定的）电流可以产生（恒定的）磁场，这主要由安培定律表达，但是恒定的磁场却不会产生电流；另一方面，变化的磁场才可以导致电流的产生，这主要由法拉第定律表达，人们却没有与之对应的变化的电场的概念，这种电磁关系的不对称并没有引起当时实验物理学字的特别关注，因为在当时的实验条件下看不到这些现象。但麦克斯韦的工作不同，他完全用数学语言表达来电磁定律，从而使这种不对称的缺陷充分暴露出来，但是麦克斯韦并不能直接从这种不对称性中关系中推演出对称性来，他仍然只能回到实验中去，不同的是他不用做实验室中的实验，他只须做思想实验，这种思想实验不是数学表达式在思想中的推演，而是在思想中进行的对电和磁的运动形象过程的再创造。他沿用安培定律的实验，想象电流和磁场的运动过程，当时的情形在现在看来是非常奇特的，的物理学家只能沿用经典图像进行思考（甚至今天在大多数情况中也只能这样），比如把电和磁想象为以太流体、涡旋、弹性物质，甚至齿轮之类，麦克斯韦的思想实验也是在这样的图像中进行的，但是由于麦克斯韦脱离了具体实验环境的限制，所以他能在他的思想实验中“观察”到新的“现象”。麦克斯韦工作的关键是他的着名的所谓“位移电流(Displacement current)”的思想图像，即把变化的电场也看成为一种（以太）电流，事实上，电场在物理过程上可以解释为电介质内的分子产生极化的状态，它是分子中的外层电子的总的位移效应，在当时的实验室中条件下观察不到这种效应所表现出来的现象，而位移电流是一个在的思想实验中的能够被“观察”到的交变电流过程，你可以想象有一种流态的电物质在物质中来回移动（交变电流）而不是通过（稳恒电流），这样它就脱离了实验室条件下具体的导体或绝缘体的物理限制，使电场能以电流的形象出现，这种交变的位移电流产生交变磁场，这样交变的电、磁场可以相互产生，电与磁的对称性成为了在理论上表达完全的一种共同的本质关系，这种在相互转化的对称性中的电与磁的统一就是电磁场。位移电流的思想实验，直接导至麦克斯韦在以前的安培公式中添加电场的变化率一项，这就是麦克斯韦方程组物理本质化的一个关键，这样麦克斯韦就成功地的把静态意义的安培公式改造成了交变（电磁场）的安培公式，奠定了电磁场数学表达形式在本质上的统一，使以前没有内在共同统一性的静电学的和静磁学转变成为了电磁场理论的电动力学。由此我们可以看出，并不是麦克斯韦依完全靠数学演绎方法直接从从库仓定律、安培定律、法拉第定律等数学表达式中推导得到了麦克斯韦方程组，麦克斯韦不是由即定的演绎性前提中推导出新的结果，而是首先是他用思想实验方法发现了安培定律的新的意义，补充了安培公式，从而揭示了电与磁的物理现象后面存在的共同的本质，这样才使以前几个相互没有内在统一性的电磁公式成为了具有本质性意义的麦克斯斯韦方程，成为了可以表达一种全新的物理对象的数学形式．初中最浪漫的数学公式。

2. 物理学史中的麦克斯韦方程组

电磁场的理论的产生是物理学史上划时代的里程碑之一，在以牛顿为代表的经典力学时代，所有的物理对象都是直观的或者可以认为是直观的，比如气体中的分子虽然是肉眼看不见的，但人们仍然把它们当作可以看见的小粒状物体，就象在显微镜下可以看到的灰尘一样，但是场却是一种人类感官无法直接或（在感官感觉的意义上）间接感受的对象，因此人类根本无法“想象”出场“实际”上会是一种什么“东西”，但是人们仍然相信它的存在，除了人们在它的间接的物理效应中被证实以外，另一个主要的原因就是人类可以有表达它们的数学形式，麦克斯韦方程组就是以优美的数学组合方式表达了电磁场，这是一种对事物的本质的表达，因此人们在这种数学的确定性中坚信了它的“实际”存在。麦克斯韦方程驵所具有的重要的物理学史的意义是，它扩展了人们对物质的认识，形成了新的物质概念和世界观。

当牛顿定律以一个简洁的方程式（F=Ma）表达了经典力的核心概念的时候，物理对象之间的关系是明白的，感性直观的，力就是物理对象之间的时空关系，但是现在对于电磁场，人们却无法用一个方程式来表达场之间的关系，而要用一组方程表同时地达它们之间的关系，而且这些方程之间不是通常的数学演绎关系，就是说，你不能象牛顿力学一样，从一个基本方程出发，采用数学代入方法，就能得到与此相关的其它物理方程，如速度、加速度、座标位置、功和能等等，电磁场的方程不同，它们不是可以用代入方法从一个方程推演出另一个方程，这些方程式各自有独立的实验意义而又相互依存，它们是同一个物理对象同时性的具有不相同的物理现象的本质，它们的共存性是在实验和思想实验中被发现和被归纳总结出来的，它们必须同时共存于同一个方程组之中——这就是它们的物理本质，因此在这个意义上，麦克斯韦方程组是一组彼此相关的公理，它以这种特殊的数学方式表达了一种物理存在。也正是在这两种意义上，麦克斯韦方程组表现了它在物理学史中的里程碑式的意义，即第一、它以不同的数学方程式表达了在时空中具有分别的物现现象的物理存在，在这个意义上它继续了经典物理学；第二、它以方程组的形式表达了场的存在，体现了电与磁的本质性共存性关系，在这个意义上，它又是显着的非经典的。

虽然麦克斯韦方程组式组仍然是用数学形式表达的一种物理存在，但这种物理存在不是人的感官意义上的物理对象之间的可以完全分别的经典力学关系，电磁场也不是一种整体性的可以直观感受到的物理对象，人们只能在感官的意义上间接地、分别地知道电与磁不同的存在现象，只有在几个方程的共存性公理关系（方程组）的形式中，才能表达电磁现象背后电磁场所具有本质性存在，就是说，麦克斯韦方程式组实际上已经第一次改变了物理学中最核心的力与力学的经典观念，事实上，它已开了在以后的量子力学中完全依靠用数学方法表达物理存在的先河，这里面的区别是，方程组是数学中已有的成熟方法，所以人们习而不见，而量子力学却须要发展和创造新的数学表达方法，这种困难才使人们深刻地感到对量子力学难以理解。

对于不能直接感受的物理“现象”，即使在实验室条件下当然也是看不到的，人们只能通过间接方法去捕捉它们，另一方面，人类的思想仍然可以间接地“想象”它们，这就是“思想实验”，麦克斯韦的思想实验就是一个最成功的例子，当然思想实验的结果是很难用语言和图像形式表达的，因为这些物理对象本身就是非感官性的，这时，数学就是唯一的能精确地表达人们的思想的形式，麦克斯韦方程组就是样的完美的例子。物理学家和数学家常常说 “数学图像”就是这个意思。正是由于借助于矢量场的数学表达和与此紧密相关思想图像，场的概念才清晰地被人们所撑握，这不是纯粹的数学意义的几何空间，而是具有感性内容的物理空间，你如果只是记住了物理定律和数学形式及推导关系，并不表明你真正撑握了这门学科，只有你具有了与之对应的某种“模糊的”数学空间中的物理图像，你才能真正在这门学科有效地工作，就是说你真正地“理解“了它们。这种情况已表明，人类的理性思维和表达方式已经进入了了一个新的阶段，当然这种进步是最艰难的，量子力学的历史就充分说明了这一点，直到今天人们仍在殚精竭虑地去想象由波函数表达的“量子态”究竟是“什么”。

数学最奇葩的九个定理:麦克斯韦方程组，为什么被称为最美丽的方程组？

3. 较深入的观点

我们从麦克斯韦方程组的产生，形式、内容和它的历史过程中可以看到，第一、物理对象是在更深的层次上发展成为新的公理表达方式而被人类所撑握，所以科学的进步不会是在既定的前提下演进的，一种新的具有认识意义的公理体系的建立才是科学理论进步的标志。第二、物理对象与对它的表达方式虽然是不同的东西，但如果不依靠合适的表达方法就无法认识到这个对象的“存在”。由此，第三、我们正在建立的理论将决定到我们在何种层次的意义上使我们的对象成为物理事实，这正是现代最前沿的物理学所给我们带来的困惑。

4. 麦克斯韦方程组的文化意义着名的数学定理。

麦克斯韦方程组揭示了电场与磁场相互转化中产生的对称性优美，这种优美以现代数学形式得到充分的表达。但是，我们一方则应当承认，恰当的数学形式才能充分展示经验方法中看不到的整体性（电磁对称性），但别一方面，我们也不应当忘记，这种对称性的优美是以数学形式反映出来的电磁场的统一本质，因此我们应当认为是在数学的表达方式中“发现”或“看出”了这种对称性，而不是从物理数学公式中直接推演出这种本质，这是一个十分重要但又极易混淆的事实，而且，这种认识的意义是非常深刻和长远的。

首先它与对演释和归纳的相互关系的理解有直接关系，一方面，人们总是把数学表达方式与“演释”这一概念同等起来，把经验的过程意义与“归纳方法”同等起来，从麦克斯韦方程组的案列中可以看出，思想实验具有“经验”的归纳意义意义，但却是在数学形式上进行的；另一方面，数学表达式并不是完全在演绎的方式下被运用，相反，对它们的归纳综合更具创造性。当然这并不是说数学演绎不会产生新的发现，而只是说数学演绎不会产生超出它的演绎前提的结果，而演绎的前提从何而来，这是一个远比数学方法本身更困难，更具认识论意义的问题。

虽然我们现在已无法追踪麦克斯韦和其他物理学家当时的具体思想过程，但是我们仍可以领悟到，一个重要的物理思想的产生与由某一个演释前提推导出一个正确的结果在性质上完全不同，这样我们势必承认，一方面，一个成熟的物理思想与采用何种方式表达毕竟是两回事，但是另一方面，我们也不能否认恰当的数学表达也具有决定性的作用。我们都承认，演绎方法在某一个科学理论中具有涵盖一切的巨大力量，但演绎的结论总蕴含在前提之中，在演绎的前提之外，它是无能为力的，真正的创造力来自于超越综合，但这不是简单的综合方法，思想实验的性质和对它们的表达方式的统一就说明了这一点。实际上数学的最本质性的特征之一就是它的表达性，在数学表达方式中，演绎方法的能力可以发挥到极至，正是在这个意义上，人们都说，数学是科学的“语言”，因此，数学中的巨大创造性不仅仅是它的演绎性，而是自身形式的创造.

数学最奇葩的九个定理

另一方面，误信经验归纳将使人们陷入盲目自大，实质上这是把简单的归纳经验当作了演绎前提真理，这正是那些僵化思想的本质，它排斥真正的科学创造精神，而这正是我们中国传统文化在近代表现突出的一个至命伤。但是，这不是归纳或演绎本身的对或错，无论是演绎或者是归纳，它们本身都是人类理性的本质，在人类文化发展的历史道路上，它们由于具体的历史条件影响而可以表现为不同的文化特色，正是在对麦克斯韦方程组的文化阐释中我们可以认识到，演释与归纳的意义只有在阐释的方式下才能被正确地理解。

麦克斯韦的位移电流的思想图像，使我们可以领悟到，西方科学思想中驱之不去的“以太”幽灵，实质上充当了人的思想图像中数学空间的物理性本质，虽然人们无法在现实事物中找到它，但在有效的思想实验中却无法没有它，这与中国古老的“气”的观念有着本质上的类似，不同的是，以太是数学与物理的统一本质，而“气”是人文意义的，是人与世界统一的观念形态，因此它们在自己适用的领域里都具有重要的文化价值，中文里 “电气”一词的广泛使用，如“电气化“，就是中西文化结合下对“气”这一词的最恰当的使用的例子。我们很难相象，如果没有“以太流”的思想形象，大量的最基本的现代数学物理概念，如矢量场、通量、势、梯度、散度、旋度、张量……等等如何能够建立起来，又如何能被人们学习和得到真正的理解。至于“气”在中国文化中的意义就无须在本文中说了。

麦克斯韦方程组使我们有了一个机会能够从不同的层次阐释物理学中的同一个对象，而它给我们带来的启示正在对它的阐释中而更加显露出来，它提供了一个从科学理论中展现文化意义的机会，同时给大文化意义的阐释提供了一个最适宜的案例。

[1] 列昂.库珀，物理世界，杨其方等译，海洋出版社1981,第22章

[2] 麦克斯韦，电磁通论，戈革译，武汉出版社1991 [3] 为了版式的简便，本文未列出麦克斯韦方程组的数学形式（矢量微、积分方程组），这可方便地在许多网页上看到，如：

http://hyperphysics.phy-

最难的数学题(有答案)。

[4] 与此文有关的观点可以参见周剑铭“中国传统文化的二个难题与中西文化的命运”和“论中国思想”系列文章。

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